En matemáticas —especialmente en el cálculo—, uno de los conceptos más importantes en el nivel más básico de hoy en día, es el de función. El que sea un objeto muy elaborado, se debe a qué es un término y una herramienta que se forjó como consecuencia de numerosas generalizaciones realizadas a través de una evolución que conllevó más de dos milenios. Sin este concepto, quizá no se hubiese concebido aquel terreno sobre el cual se ha conformado toda la matemática moderna.
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| Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Foto de edición propia. |
Concepción histórica
De la cultura griega y babilónica tenemos los primeros rastros de sus orígenes. Aunque, cabe aclarar, en ellas solo se logró tener una intuición primitiva del concepto de función, pues estos buscaban era una forma para lograr idear una regularidad en sus tabulaciones de los fenómenos naturales —como lo eran el movimiento de los astros—, para después intentar formular de manera generalizada tales observaciones en términos aritméticos, ya que como expresó Boyer;
Si no hubiera una regla general subyacente sería difícil explicar la analogía entre los distintos problemas del mismo tipo.
Precisamente en la búsqueda de estos patrones que subyacen en los fenómenos es a lo que se dedican las matemáticos. Tendrían que pasar casi 2.000 años, para que solo hasta los siglos XVI y XVII con Descartes, Fermat, Leibniz y Newton que, como consecuencia de intentar forjar de estructura formal y objetiva a las matemáticas de esas abstracciones generalizadas, se iniciaran en el estudio de las curvas y las expresiones algebraicas que los describen a estos —a los fenómenos naturales—. Lo cual de a poco abrió pasos hacia el desarrollo de la teoría de funciones,
El cual se centra fundamentalmente en tres pilares: el crecimiento impetuoso de los cálculos matemáticos, la creación del álgebra simbólico-literal y la extensión del concepto de número.
Estas concepciones se comienzan a estudiar principalmente en aquella época bajo dos formas dominantes. La primera, fue mediante el procedimiento de Newton que él llamó el método de las fluxiones. La segunda se desarrolló simultáneamente en Alemania por Leibniz, éste lo hizo a través del cálculo de los diferenciales, quien por vez primera habla en términos de función —ya que los demás matemáticos de la época no lograban un acuerdo general para representar aquellas cantidades arbitrarias que, dependían de otras variables—, fue esto lo que condujo al sabio alemán a utilizar la palabra función en el sentido de una expresión analítica.
La función como expresión analítica
Debido a los aportes teóricos de Newton y Leibniz, los matemáticos del siglo XVIII, se sirven de ello para hacer de las matemáticas de ese tiempo, el instrumento ideal para analizar los fenómenos físicos a través de un objeto matemático de naturaleza analítica, la cual denominan como función, y ese es uno de los legados más importantes que hicieron ambos autores.
Este término tiene a Bernoulli y a Euler como las principales las figuras del siglo XVIII que, hicieron de su noción una expresión analítica. El primero fue quien propuso la letra griega f para designar la característica de una función, en aquel entonces, él lo denotó cómo: <>. El segundo hizo que el concepto evolucionara a la escritura actual: f(x).
Los matemáticos e historiadores de la ciencia, afirman que es con el problema de la cuerda vibrante de Euler, en el que;
queda totalmente determinado si se dan para un instante cualquiera, la forma de la cuerda y la velocidad en cada punto.
Dado que, un valor determinado cualquiera puede expresarse por un número, por lo cual una cantidad variable comprende todos los números, cualquiera que sea su naturaleza. Es por ello que Para Euler, en su libro de introducción al análisis infinitesimal de 1748, una cantidad cualquiera —variable—, abarca todos los números desde los naturales hasta los imaginarios —también conocidos como complejos—.
Una herramienta capaz de abarcar todos los números, tiene una importancia elemental. De allí que M. Spivak haya expresado al respecto,
El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones. No ha de sorprender, por lo tanto, que el concepto de función sea de gran generalidad.
Su definición actual: Dirichlet
El camino hacia aquella concepción de un uso pleno en la exploración minuciosa basada formalmente en la noción general de función que hoy todos conocemos, es introducida por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837.
Específicamente, al respecto, hay dos oraciones atribuidas a Dirichlet que lo constatan, ambas del año 1837. En la primera, él expresó que,
Una cantidad variable “y” se llama función de la cantidad variable “x” si a cada valor de “x” le corresponde un solo y determinado valor de “y”.
En la segunda, señaló;
Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente x.
Ya en el siglo XX, los matemáticos y filósofos se desligan de la percepción del uso de variables numéricas como representación para el concepto de función. Esta postura es lo que hace que esta noción alcance los altos grados de generalidad que se le atribuye en la actualidad. Pues, ya no es necesario que la variable independiente deba corresponder al valor de un número real o el de uno complejo, ni es estrictamente necesario, que sea de tal naturaleza. Esto hizo posible que, no solo el desarrollo de las matemáticas, sino que también amplió el sendero para que otras disciplinas como la física —por nombrar una—, hicieran inevitable orientar el estudio de funciones definidas sobre valores en conjuntos arbitrarios.
¿Qué sería de las matemáticas de la ciencia moderna sin la concepción de herramientas como la que nos ofrece la función al día de hoy? El rigor científico ha hecho que la definición del concepto de función se vea enmarcado dentro del dominio del mundo académico con una repercusión de gran impacto. y en particular, se utiliza la noción de gráfico para darle sustento formal.
Hoy podemos a través de las funciones, modelar matemáticamente un fenómeno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripción verbal o un cálculo complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo.
